Matemáticas VI: Cálculo Integral

Horario:

Las clases son los martes y jueves en el CIMAT de 4:00 pm a 6:30 pm (con un receso de 5:00 a 5:30).

Método de evaluación:

Se califica sobre 100 puntos repartidos de la siguiente manera:

  • Tareas                     80%
  • 1 examen final      10%
  • 1 Proyecto              10%

Si necesitan ayuda (i.e. requieren puntos extra) hablen conmigo y nos ponemos de acuerdo en como proceder para ayudarles (proyecto extra o algo así)

Tareas:

Podrás descargar las tareas y su solución en esta sección. Las tareas se dejan los jueves y deben entregarse al siguiente jueves. Puedes entregar problemas atrasados o problemas en los que quieras mejorar tu calificación después, pero no se vale abusar de este recurso. Tienes que entregar la mayoría de tus tareas el jueves.

Referencias de interés:

  • La geometría fractal de la naturaleza, Benoit Mandelbrot.
  • Cálculo de un a variable, James Stewart
  • Ordinary Differential Equations, Morris Tenenbaum, Harry Pollard

Bitácora:

Clase 1 (20 de enero): Hemos discutido la forma de evaluar del curso y luego comenzamos a discutir el concepto de área. Para familiarizarnos con él y con las propiedades que esperamos tenga el área trabajamos en descomposición de figuras de la misma área, como piezas de un rompecabezas, para llevar una en la otra. Hay que llevar regla, compás y tijeras para la próxima clase.

Clase 2 (22 de enero): Hemos continuado estudiando el problema de dividir dos figuras de la misma área en piezas iguales pero acomodadas de distinta forma. Hoy resolvimos el problema particular de como hacer este proceso para el caso de dos triángulos de la misma área pero con la misma altura. El problema que nos falta es el de transformar un rectángulo de un área dada en un cuadrado de la misma área.

Clase 3 (27 de enero): Hemos iniciado el estudio de la pregunta: ¿Cómo le asigno un valor, el área, a figuras que no puedo construir de forma obvia a partir de una cantidad finita de triángulos y rectángulos? Objetos como ellos son el círculo o la elipse o figuras cuyo contorno sea curvilíneo.

Mencionamos que el proceso deseado es el método de aproximación: aproximamos la figura con figuras poligonales que estén dentro de ella y que cada vez abarquen más y más de la región que ocupa la figura original. Sin embargo, hemos visto que este proceso es engañoso pues hay figuras donde este proceso arroja resultados contra-intuitivos. Vimos con detalle el copo de Koch. 

Hemos concluido que el área no es un objeto dado ya de antemano y que se le pueda calcular a todas las regiones del plano, como podríamos esperar, sino que es una noción que debemos definir con cuidado y aceptar que habrá figuras (como el copo de Koch) a las que no podremos asignarles un área.

Clase 4 (Jueves 29 de enero): Hemos comenzado con el proceso formal de construcción de la integral de Riemann. En particular discutimos que nos enfocaremos en asignarle área a regiones atrapadas entre la gráfica de una función y el eje x. Explicamos el proceso de encontrar sumas inferiores y sumas superiores (son llamadas sumas de riemann) y mencionamos que el área atrapada existe si en el límite las área inferiores y superiores convergen a lo mismo. Hemos visto con cuidado el ejemplo con y= x en el intervalo [0, 1] y luego los alumnos hicieron el caso y = x^2 en el mismo intervalo.

Clase 5 (Martes 3 de febrero): Hemos repasado la construcción de la integral de Riemann y enunciamos con precisión qué quiere decir que una función sea integrable. Mencionamos que la integral es aditiva y homogénea, es decir, que distribuye la suma y “saca” las constantes reales. Vimos una justificación, no del todo correcta, pero suficientemente intuitiva para nuestro objetivo de porqué es así.

Luego discutimos acerca de series y de su posible divergencia o convergencia. Platicamos que el hecho de que una serie diverja se puede interpretar como que ciertos números (los denominadores) “son muchos y densos”. Vimos varios casos y mencionamos que la próxima clase veremos como se relaciona con la integral para poder trabajar con el caso de la serie de los inversos de números primos.

Clase 6 (Jueves 5 de febrero): Hemos mencionado nuevamente qué quiere decir que una función sea integrable en un intervalo cerrado [a, b]. Luego, extendiendo esta definición, enunciamos qué quiere decir que una función definida en un intervalo que contengan a \infty, -\infty o una singularidad. sea integrable y vimos algunos ejemplos.

Utilizando esto justificamos el criterio de la integral para determinar si una serie es convergente o divergente, para luego recordar la definición de número primo y compuesto y enunciamos el teorema fundamental de la aritmética. Todo esto con el objetivo de dar una demostración usando dicho criterio de que los números primos son infinitos.

Mencionamos la prueba que dio Euclides originalmente, pero luego estudiamos la demostración que dio Euler utilizando series convergentes y luego evidenciamos la contradicción al ver que la serie armónica diverge con el criterio de la integral.

Clase 7 (10 de febrero): Hemos trabajado el Teorema fundamental del cálculo y dimos una justificación breve al estudiar aproximaciones discretas de una función y cómo aquí el teorema es muy claro. Luego vimos varios ejemplos de como integrar e hicimos notorio el hecho de que para integrar hay que buscar funciones que sean derivadas de otras.

Luego para estudiar una aplicación de este teorema comenzamos a trabajar con la suma de las primeras n k-ésimas potencias. Vimos como deducir la suma de las primeras n cúbicas potencias y dijimos que el jueves veremos como se relaciona con la integral.

Clase 8 (12 de febrero): Recordamos el enunciado del teorema fundamental del cálculo e hicimos varios ejercicios al respecto. Luego enunciamos como funciona la fórmula de cambio de variable y también hicimos varios ejercicios al respecto.

Clase 9 (17 de febrero): Dedicamos la clase a resolver los ejercicios de integración de la Tarea 3.

Clase 10 (19 de febrero): Estudiamos integración por partes para poder hacer otro tipo de integrales e hicimos varios ejercicios. Luego estuvimos hablando de algunos ejemplos donde se utiliza la integral.

Clase 11 (24 de febrero): Trabajamos en descomposición en fracciones parciales para poder integrar. Mencionamos que esto simplifica la integración de las funciones racionales, especialmente al complementarse con sustitución trigonométrica.

Clase 12 (26 de febrero): Hemos enunciado con precisión como se lleva a cabo la descomposición en fracciones parciales en el caso general, es decir, cuando hay términos lineales y cuadráticos repetidos. Hicimos algunos ejemplos. También hemos estudiado como integrar mediante sustituciones trigonométricas al observar que completar el cuadrado perfecto, hacer varias sustituciones y usar fracciones parciales nos puede ayudar a resolver algún problema de integración de funciones racionales.

Clase 13 (3 de Marzo): Habló una compañera de la facultad sobre algunas nociones de topología para mostrar algunas cosas por las que se interesan los matemáticos. El 5 de marzo se suspenden las clases porque cierran la carretera.

Clase 14 (10 de marzo): Hemos hablado sobre la otra versión del teorema fundamental del cálculo, es decir, como trabajar con funciones del estilo $ latex F(x) = \int_a^x f(t) dt$. Hicimos varios ejercicios que usan esto junto con la regla de la cadena y las reglas de sustitución.

Clase 15( 12 de marzo): Hemos iniciado el trabajo de hablar sobre cómo medir la longitud de curvas, áreas de regiones y como estas propiedades se transforman bajo distintas funciones. En particular queremos entender los problemas que existen para hacer mapas y comenzamos nuestra empresa estudiando lo que es el producto punto, la norma, la derivada y la aceleración de una curva. Luego platicamos qué es la proyección estereográfica y dijimos algunas de sus bondades y algunos de sus defectos.

Clase 16 (17 de marzo): Hemos definido lo que es una parametrización y vimos algunos ejemplos. Luego definimos lo que es la longitud de una curva y estuvimos trabajando con varios ejemplos explícitos, dónde se debían calcular longitudes.

Clase 17 (24 de marzo): Hemos hablado de manera muy tangencial sobre la curvatura de objetos: curvas y superficies. Todo lo hemos hecho con el objetivo de responder una pregunta de un alumno: ¿porqué las lineas de los aviones en los mapas planos se ven tan extrañas?

Clase 18 (26 de marzo): Hemos visto como describir regiones del plano para poder integrar funciones sobre ellas. Esto es, vimos como calcular el volumen sobre la gráfica de una función de dos variables. Utilizamos este método para encontrar el volumen de la esfera y el de la pirámide.

Clase 19 (14 de abril): Hemos recordado lo que hicimos la clase anterior, que fue la última antes de vacaciones. Luego vimos el método de Cavalieri para calcular volúmenes y estuvimos trabajando con ello: demostramos la fórmula del área de una pirámide y también vimos cómo obtener el volumen de sólidos de revolución.

Clase 20 (16 de abril): Estuvimos trabajando en ejercicios sobre el cálculo de volúmenes.

Clase 21 (23 de abril): Vimos cómo calcular el área superficial de una superficie de revolución e hicimos ejercicios sobre eso.

Clase 22 (28 de abril): Hemos definido lo que es el valor promedio en [a, b] de una función integrable en tal intervalo y platicamos del Teorema del valor medio para integrales y su interpretación geométrica. Luego comenzamos a trabajar con estimación de integrales. Vimos varios métodos: Método izquierdo de estimación, método derecho de estimación, método del punto medio y método del trapecio y mencionamos cuál es el rango de error de los últimos dos. Finalmente vimos cómo la estimación del rango de error nos da un método para saber cuál es la cantidad de puntos que debemos usar (la n en los métodos) para asegurar tener un error menor a una cota dada.

Clase 23 (30 de abril): Hemos intentado demostrar la aproximación mediante el método de Simpson y luego enunciamos con precisión la aproximación de su error.

Clase 24 (5 de Mayo): Hemos resuelto varias dudas de tareas anteriores y comenzamos a comentar sobre ecuaciones diferenciales, su importancia y cómo resolverlas.

Clase 25 ( 12 de Mayo): Hemos repasado el concepto de ecuación diferencial y hablamos sobre el método de Euler para estimar sus soluciones. Vimos en particular un ejemplo que muestra dónde puede fallar gravemente tal método.

Clase 26 (14 de Mayo): Mencionamos lo que es el campo de direcciones de una ecuación diferencial. Luego explicamos lo que es una ecuación diferencial separable y cómo se resuelven. Aplicamos estos métodos para resolver varios problemas de trayectorias ortogonales o de hallar curvas con propiedades dadas.

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